L'observation du ciel étoilé, par une nuit claire, nous permet d'imaginer, ne serait-ce qu'un instant, la représentation du monde des Anciens: notre regard semble se trouver au centre de la voûte céleste . Il coïncide avec une conscience spontanée, intuitive du monde qui nous entoure: tout semble réellement se passer comme si la ronde des étoiles, du Soleil et de la Lune, des planètes avaient pour centre son être et par extension la Terre. Même si nous savons que tout cela est faux, que les plus âpres combats scientifiques ont été menés pour détrôner la Terre de cette place usurpée, cette vision d'un univers géocentrique présente des qualités didactiques indéniables pour mesurer la position les astres par rapport à notre planète. Ainsi, on admettra que la Terre est encore au centre de la sphère céleste.

La sphère céleste

Les étoiles paraissent fixées sur une sphère en rotation, la sphère des fixes. Nous ne voyons qu'une moitié de cette sphère, l'autre moitié étant cachée par notre horizon local. Cette sphère tourne sur elle-même autour d'un de ses diamètres, l'axe du Monde, dont les points extrêmes forment les pôles célestes. Son mouvement apparent s'effectue d'Est en Ouest en un peu moins de 24h. L'équateur céleste est le grand cercle dont le plan est perpendiculaire à l'axe des pôles.

Les systèmes de coordonnées

Pour se repérer sur le globe terrestre, les géographes utilisent un système de deux coordonnées: la longitude et la latitude. De même, les astronomes ont à leur disposition des systèmes de coordonnées pour repérer les astres sur la sphère céleste. En fonction du plan de référence choisi, (horizon, équateur, écliptique ou galactique), la position des astres est déterminée par un système de deux coordonnées correspondant en quelque sorte à la longitude et à la latitude des géographes.

Certains de ces systèmes tels les systèmes de coordonnées équatoriales et écliptiques sont sensibles au phénomène de précession des équinoxes qui est de l'ordre d'environ 50'' d'arc par an. Les coordonnées fluctuent avec le temps et, par conséquent, doivent être régulièrement réajustées.

Les coordonnées célestes équatoriales

Le système de coordonnées équatoriales permet de repérer les astres sur la sphère céleste, au moyen d'un couple de deux coordonnées : l'ascension droite α et la déclinaison δ.

Pour établir les coordonnées équatoriales d'un astre, il faut:

• un plan de référence → l'équateur céleste.
C'est le grand cercle qui prolonge dans l'espace l'équateur terrestre. Il est perpendiculaire à l'axe des pôles célestes, qui eux-mêmes prolongent l'axe des pôles terrestres.

• un point d'origine défini sur l'équateur céleste → le point vernal ou point gamma (γ).
C'est le point d'intersection de l'équateur céleste et de l'écliptique, que le Soleil marque le jour de l'équinoxe de printemps et de l'équinoxe d'automne.

‣ Le cercle horaire d'origine des mesure de l'ascension droite α est le grand cercle passant par le point vernal γ et les pôles célestes.

‣ Le cercle horaire d'un astre est le demi-cercle passant par l'astre et les pôles célestes.

L' ascension droite α (ou AR) d'un astre est l'angle formé par le cercle horaire de cet astre avec le cercle horaire d'origine. Compté dans le sens direct (inverse des aiguilles de la montre), cet angle s'exprime généralement en heures (h) minutes (m) et secondes (s) de 0h à 24h.

La déclinaison δ d'un astre est l'angle de l'équateur céleste avec la direction de cet astre sur son cercle horaire. Dans l'hémisphère nord, la déclinaison se compte de 0° à 90° vers le pôle nord et dans l'hémisphère Sud de 0° à -90° vers le pôle Sud. Cet angle s'exprime en degrés (°) minutes (') secondes ('').

Les coordonnées célestes écliptiques

Le système de coordonnées écliptiques permet de repérer les astres sur la sphère céleste, au moyen d'un couple de deux coordonnées : la longitude écliptique λ et la latitude écliptique β.

Pour établir les coordonnées écliptiques d'un astre, il faut:

• un plan de référence → l'écliptique.
C'est le grand cercle de la sphère céleste parcouru par le Soleil dans son mouvement apparent autour de la Terre. Le diamètre de la sphère céleste perpendiculaire à l'écliptique correspond à l'axe des pôles de l'écliptique.

• un point d'origine défini sur l'écliptique → le point vernal ou point gamma (γ).
C'est le point d'intersection de l'équateur céleste et de l'écliptique, que le Soleil marque le jour de l'équinoxe de printemps et de l'équinoxe d'automne.

‣ Le cercle d'origine des mesures de la longitude écliptique λ est le grand cercle passant par le point vernal γ et les pôles de l'écliptique.

‣ Le méridien écliptique d'un astre est le demi-cercle passant par l'astre et les pôles écliptique.

La longitude écliptique λ d'un astre est l'angle formé par le cercle méridien de cet astre avec le cercle méridien du point vernal γ. Compté dans le sens direct (inverse des aiguilles de la montre), cet angle s'exprime en degrés (°) minutes (') secondes ('') de 0° à 360°

La latitude écliptique β d'un astre est l'angle de l'écliptique avec la direction de cet astre sur son cercle méridien. Dans l'hémisphère nord, la déclinaison se compte de 0° à 90° vers le pôle nord et dans l'hémisphère Sud de 0° à -90° vers le pôle Sud. Cet angle s'exprime en degrés (°) minutes (') secondes ('').

L'écliptique forme un angle de 23°26' avec l'équateur céleste. Cet angle porte le nom d'obliquité de l'écliptique et se note ε.

Le zodiaque est une bande de la sphère céleste large de 8,5° de part et d'autre du cercle de l'écliptique qui en marque le centre. Il est divisé en 12 parties de 30°, les douze signes du zodiaque C'est dans cette zone que la Lune et les planètes mènent leurs rondes célestes apparentes.
Cette division en 12 parties de 30° est très ancienne et remonte à l'Antiquité : vers le Ve av JC, les Babyloniens l'utilisaient déjà. Il y a 2 000 ans, le point vernal marquait effectivement l'équinoxe de printemps dans le signe du Bélier dans lequel se levait le Soleil. Mais du fait de la précession des équinoxes, qui est de l'orde d'environ 50'' par an, le point vernal s'est décalé en 2 000 ans de pratiquement 30° soit un signe complet... Actuellement, le Soleil se lève dans la constellation des Poissons le jour de l'équinoxe de printemps. C'est sûrement gênant pour un astrologue, mais c'est sans incidence pour l'utilisation de l'instrument de Pierre Apian, puisque nous raisonnons sur la longitude et la déclinaison du Soleil : le 21 mars, même si le Soleil ne se lève pas dans le signe du Bélier, sa longitude écliptique est nulle, de même que sa déclinaison. C'est pour cela que nous pouvons continuer d'utiliser les signes astrologiques du zodiaque...
Quant au Soleil, il occupe une position particulière sur le cercle écliptique: durant son parcours annuel, sa latitude écliptique β est toujours égale à 0. Il en occupe donc le centre.

Les coordonnées célestes horizontales locales

Le système de coordonnées horizontales permet de repérer les astres sur la sphère céleste locale, au moyen d'un couple de deux coordonnées : l'azimut Az et la hauteur h.

Pour établir les coordonnées horizontales d'un astre, il faut:

• un plan de référence → l'horizon.
C'est le grand cercle de la sphère locale passant par les quatre points cardinaux d'un lieu. La perpendiculaire de ce plan horizontal, donné par le fil à plomb, s'appelle la verticale du lieu et perce la sphère locale en deux points, le zénith en haut et le nadir en bas.

• un point d'origine défini sur l'horizon → le sud.
C'est le point cardinal marqué par l'intersection de l'horizon local avec le méridien du lieu.

‣ Le cercle d'origine des mesures de l'azimut Az est le méridien du lieu, grand cercle passant par les pôles célestes et la verticale Zénith-Nadir de ce lieu. Ce grand cercle local passe par le nord, le pôle nord céleste, le zénith, le sud, le pôle sud céleste, le nadir.

‣ Le vertical d'un astre est le demi-cercle contenant la verticale Zénith-Nadir et l'astre.

L' azimut Az; d'un astre est l'angle formé par le vertical de cet astre avec le cercle méridien du lieu côté Sud. Compté dans le sens rétrograde (sens des aiguilles de la montre), cet angle s'exprime en degrés (°) minutes (') secondes ('') de 0 à 360°. Il se compte aussi de 0 à ±180°, positivement vers l'Ouest et négativement vers l'Est.

La hauteur h d'un astre est l'angle que forme l'horizon avec la direction de cet astre sur son vertical. Cet angle s'exprime en degrés (°) minutes (') secondes ('') de 0° à 90°.

La latitude du lieu φ est égale à l'angle entre le pôle nord céleste et le point nord de l'horizon ou à l'angle entre le zénith et l'équateur céleste.

Le lever et le coucher de l'astre A sont signalés sur le cercle horizon par les lettres L et C.

Dans le système de coordonnées horizontales, la hauteur h d'un astre mesure son altitude au dessus-de l'horizon. On appelle almucantarat (de l'arabe al-muquantara, astrolabe) le cercle de la sphère céleste reliant tous les points de hauteurs égales parallèlement à horizon. On les nomme également cercles de hauteur ou parallèles de hauteur.

Les coordonnées célestes horaires

Le système de coordonnées horaires permet de repérer les astres sur la sphère céleste locale, au moyen d'un couple de deux coordonnées : l'angle horaire H et la déclinaison δ.

Pour établir les coordonnées horaires d'un astre, il faut:

• un plan de référence → l'équateur céleste.
C'est le grand cercle qui prolonge dans l'espace l'équateur terrestre. Il est perpendiculaire à l'axe des pôles célestes, qui eux-mêmes prolongent l'axe des pôles terrestres.

• Un point d'origine défini sur le méridien local → le sud

‣ Le cercle d'origine des mesures de l'angle horaire H est le méridien du lieu, grand cercle passant par les pôles célestes et la verticale Zénith-Nadir de ce lieu.

‣ Le cercle horaire d'un astre est le demi-cercle passant par l'astre et les pôles célestes.

L' angle horaire H d'un astre est l'angle formé par le cercle horaire de cet astre avec le cercle méridien du lieu côté Sud. Compté dans le sens rétrograde (sens des aiguilles de la montre), cet angle s'exprime en heures (h) minutes (') secondes ('') de 0h à 24h°.

La déclinaison δ d'un astre est l'angle de l'équateur céleste avec la direction de cet astre sur son cercle horaire. Dans l'hémisphère nord, la déclinaison se compte de 0° à 90° vers le pôle nord et dans l'hémisphère Sud de 0° à -90° vers le pôle Sud. Cet angle s'exprime en degrés (°) minutes (') secondes ('').

Trigonométrie sphèrique

Voici un résumé des formules de trigonométrie sphérique qui ont été utilisées pour vérifier par le calcul les mesures obtenues avec l'instrument de Pierre Apian.

La trigonométrie sphérique est un outil mathématique complexe, utile à l'astronome pour le calcul de la position des astres sur la sphère céleste en permettant le passage d'un système de coordonnées à un autre.

La position d'un astre sur la sphère céleste peut se décrire à l'aide d'un triangle sphèrique appelé triangle de position. On retrouve d'ailleurs les éléments de ce triangle sur l'instrument de papier de Pierre Apian.

Pour un observateur situé au centre O de son horizon local, la position de l'astre S est définie, à un instant t, par le triangle de position PZS constitué par le pôle céleste boréal P, le zénith du lieu Z et l'astre observé S.

Les trois grands cercles de la sphère céleste constituant le triangle sphérique sont :

• le méridien du lieu passant par le Nord, le pôle céleste P, le zénith Z et le Sud

• le cercle horaire de l'astre S, passant par les pôles et l'astre S

• le cercle d'azimut de l'astre S passant par la verticale du lieu et l'astre S

Le triangle de position de l'astre S est défini parles trois angles suivants :

• ∠ZPS qui est égal à l'angle horaire H de l'astre S

• ∠PZS qui est égal à l'azimut de l'astre S

• ∠ZSP qui est égal à l'angle de l'astre S

Les trois arcs du triangle sont:

• l'arc PS qui est égal à la distance polaire p avec p = 90° - δ

• l'arc PZ qui est égal à la colatitude θ du lieu avec θ = 90° - φ

• l'arc ZS qui est égal à la distance zénithale z de l'astre avec z = 90° - h

Les angles p, θ et z sont les angles complémentaires de la déclinaison δ l'astre S , la latitude φ du lieu et de la hauteur h de l'astre S.
À noter que l'angle ∠PZS est le supplément (complément à 180°) de l'azimut de l'astre S et s'exprime par ∠PZS= 180° - Az

Formule utilisée à la sixième proposition

Calcul de l'heure du lever du Soleil, à partir de la latitude φ et de la déclinaison δ

cos(- Heure _Lever) = - tg φ x tg δ

Calcul de l'heure du coucher du Soleil, à partir de la latitude φ et de la déclinaison δ

cos(Heure _Coucher) = - tg φ x tg δ

Formule utilisée à la septème proposition

Calcul de l'azimut Az du lever et du coucher d'un astre à partir de sa déclinaison δ et de la latitude φ

cos Az = - sin δ / cos φ

Formule utilisée à la huitième proposition

Calcul de l'angle horaire d'un astre, à partir de sa distance zénithale z, de sa déclinaison δ et de la latitude φ

cos(H) = [cos(z) – sin(δ) x sin(φ)] / cos(δ) x cos(φ)

On prend pour H, la détermination positive ou négative selon que l'astre considéré est à l'Ouest ou à l'Est.

Pour le calcul de l'heure du crépuscule astronomique, la distance zénithale est:

z = 90° - (-18°) = 108°

Formule utilisée à la neuvième proposition

Calcul de la distance zénithale d'un astre, à partir de sa déclinaison δ, de son angle horaire H et de la latitude φ

cos(z) = sin(δ) x sin(φ) + cos(δ) x cos(φ) x cos(H)

La hauteur h de l'astre s'obtient:

h = 90° - z

Le Soleil représente un cas particulier par le fait qu'il se trouve constamment sur l'écliptique avec une latitude β toujours égale à zéro. D'autre part, la projection du cercle horaire du Soleil sur l'équateur forme un angle droit. Dans ce cas, les formules de calcul concernent un triangle sphérique rectangle.

Formule utilisée à la seconde, à la sixième et à la neuvième proposition

Calcul de la déclinaison δ à partir de la longitude écliptique λ et de l'obliquité de l'écliptique ε :

sin(δ) = sin(λ) x sin(ε)