Après le calcul des heures de lever et de coucher du Soleil, la septième proposition permet de calculer la durée des jours et des nuits pour n'importe quel lieu et date d'observation.

Même procédure utilisée lors de la sixième proposition pour la latitude et le choix de la déclinaison.

• Choix d'une latitude par rotation du disque mobile

• La zone de lecture se situe sur la partie Horae Antemeridianae du disque mobile, entre la languette Horizon et l'arc horaire des 12 heures.

• Décompte du nombre t des heures entre le point d'intersection de la parallèle de déclinaison (le jour choisi) et de la languette Horizon jusqu'à l'arc horaire des 12 heures
‣ t = nombre d'heures depuis le lever du Soleil jusqu'à l'arc des 12 heures

• Multiplication du nombre d'heures t obtenues par 2 pour calculer la durée du jour considéré
‣ Durée _Jour = t x 2

• Soustraction de la durée du jour à 24 heures pour calculer la durée de la nuit
‣ Durée _Nuit = 24h – Durée _Jour

La détermination de la durée des jours et des nuits en pratique

Le démontage du Trigonus et de la languette Horizon facilite la manipulation.

Reprenons l'exemple d'un lieu de latitude φ = 48° Nord

• Le jour du solstice d'Été, le 21 juin (0° ), du lever du Soleil à l'arc horaire des 12 heures, on compte 8 heures.

Durée _Jour = t x 2 = 8h x 2 = 16 heures
Durée _Nuit = 24h – 16h = 8 heures

• Le 30 avril (10 ° ) ou le 13 août (20° ), du lever du Soleil à l'arc horaire des 12 heures, on compte 7 heures 10 minutes

Durée _Jour = t x 2 = 7,167h x 2 = 14 heures 20 minutes
Durée _Nuit = 24h – 14,334h = 9 heures 40 minutes

• À l'équinoxe de printemps, le 21 mars 0° ou à l'équinoxe d'automne, le 23 septembre 0° , du lever du Soleil à l'arc horaire des 12 heures, on compte 6 heures

Durée _Jour = t x 2 = 6h x 2 = 12 heures
Durée _Nuit = 24h – 12h = 12 heures

• Le jour du solstice d'Hiver, 21/22 décembre (0° ), du lever du Soleil à l'arc horaire des 12 heures, on compte 4 heures

Durée _Jour = t x 2 = 4h x 2 = 8 heures
Durée _Nuit = 24h – 8h = 16 heures

D'un solstice à l'autre, les durées s'inversent, et aux équinoxes, la durée du jour et de la nuit sont équivalentes.

Le calcul de la culmination et de l'azimut des levers et couchers de Soleil

La figure suivante montre le trajet apparent du Soleil, pour la latitude 48° Nord, aux solstices et aux équinoxes.

Pour un observateur situé au centre O du cercle horizon:

• Au solstice d'hiver, lorsque le Soleil parcours le tropique du Capricorne, la durée du jour est la plus courte de l'année et la durée de la nuit la plus longue

• Aux équinoxes, lorsque le Soleil parcours l'équateur céleste, la durée du jour et la durée de la nuit sont égales

• Au solstice d'été, lorsque le Soleil parcours le tropique du Cancer, la durée du jour est la plus longue de l'année et la nuit la plus courte

Nous allons utiliser 2 formules pour décrire les mouvements saisonniers du Soleil. Le calcul portera sur la hauteur méridienne du Soleil (midi solaire vrai) et son azimut de lever et de coucher.

Nous savons calculer la hauteur méridienne h _m du Soleil, à son passage au méridien coté Sud, à l'aide de la formule:

h _m = 90° – φ + δ

De même, nous pouvons calculer l'azimut Az de son lever et de son coucher en utilisant la formule suivante de trigonométrie sphérique :

cos Az = - sin δ / cos φ

Reprenons les positions du Soleil de l'exemple ci-dessus à une latitude de 48° Nord, en commençant pour l'équinoxe de printemps:

• Le 21 mars, à l'équinoxe de printemps, le Soleil occupe la position 0°

‣ avec une longitude écliptique λ = 0°

‣ avec une déclinaison δ = 0° (il croise l'équateur céleste)

‣ Sa hauteur méridienne est:

‣ h _m = 90° – φ + δ

‣ h _m = 90° – 48° + 0°

‣ h _m= 42°

Le jour du printemps, le Soleil se lève plein Est, soit Az _Lever = –90° et se couche plein Ouest soit Az _Coucher = +90°.
La durée du jour et de la nuit sont égales et valent 12 heures chacune.

À l'équinoxe d'automne, la situation est identique mise à part la longitude écliptique qui est de 180°

• Le 30 avril, le Soleil occupe la position 10°

‣ avec une longitude écliptique λ = 40°

‣ avec une déclinaison δ = + 14°49'

‣ Sa hauteur méridienne est:

‣ h _m = 90° – φ + δ

‣ h _m = 90° – 48° + 14°49'

‣ h _m= 56°49'

‣ L'azimut du lever et du coucher de Soleil est :

‣ cos Az = – sin δ / cos φ

‣ cos Az = – sin(+14°49') / cos(48°)

‣ Az = 180° – cos ^–1 Az

‣ Az _Lever = – 112°28' et Az _Coucher = + 112°28'

La durée du jour augmente, le Soleil reste plus longtemps au-dessus de l'horizon
Il se lève à l'est et se couche à l'ouest un peu plus en direction du nord (22°)

• Le 21 juin, le jour du solstice d'été, le Soleil occupe la position 0°

‣ avec une longitude écliptique λ = 90°

‣ avec une déclinaison δ = + 23°26'

‣ Sa hauteur méridienne est:

‣ h _m = 90° – φ + δ

‣ h _m = 90° – 48° + 23°26'

‣ h _m= 65°26'

‣ L'azimut du lever et du coucher de Soleil est :

‣ cos Az = – sin δ / cos φ

‣ cos Az = – sin(+23°26') / cos(48°)

‣ Az = 180° – cos ^–1 Az

‣ Az _Lever = – 126°28' et Az _Coucher = + 126°28'

La durée du jour est maximale, le Soleil est au plus haut pour cette latitude.
Mais c'est aussi la nuit la plus courte de l'année.
Le Soleil se lève à l'est et se couche à l'ouest au maximun en direction du nord (36°)

• Le 21/22 décembre, le jour du solstice d'hiver, le Soleil occupe la position 0°

‣ avec une longitude écliptique λ = 270°

‣ avec une déclinaison δ = – 23°26'

‣ Sa hauteur méridienne est:

‣ h _m = 90° – φ + δ

‣ h _m = 90° – 48° – 23°26'

‣ h _m= 18°34'

‣ L'azimut du lever et du coucher de Soleil est :

‣ cos Az = – sin δ / cos φ

‣ cos Az = – sin(–23°26') / cos(48°)

‣ Az = 180° – cos ^–1 Az

‣ Az _Lever = – 53°32' et Az _Coucher = + 53°32'

La durée du jour est minimale, le Soleil est au plus bas pour cette latitude.
Mais c'est aussi la nuit la plus longue de l'année.
Il se lève à l'est et se couche à l'ouest au maximun en direction du sud (36°)

La figure suivante résume les résultats obtenues, pour une latitude de 48°N, de la sixième et septième proposition.