L'Égalité de la latitude d'un lieu avec la hauteur du pôle sur l'horizon

Au huitième chapitre, Pierre Apian propose à son lecteur le passage à la pratique.
Pour enseigner l'égalité de la latitude d'un lieu avec la hauteur du pôle Nord céleste sur l'horizon de ce lieu, il présente son premier instrument de papier:

La volvelle comprend:

• une base fixe, la page de l'ouvrage sur laquelle est dessiné un cercle divisé en quatre quadrants gradués de 0 à 90° et portant deux diamètres perpendiculaires représentant l'axe des pôles célestes et l'équateur céleste.

• un demi-disque mobile portant la ligne d'horizon Nord-Sud et perpendiculaire à celle-ci, la verticale du lieu ornée d'un personnage marchant sur la Terre en pointant un doigt en l'air vers le zénith.

Justification de l'égalité

Le méridien du lieu constitue le plan de la figure suivante.
C'est le grand cercle passant par l'axe des pôles célestes PP' et la verticale du lieu ZN (zénith-nadir) rencontrant l'horizon au point H et H' (Nord et Sud).
En complément, la figure présente la ligne horizon, tangente au cercle méridien au point Z.
L'orientation de la figure correspond à celle de la volvelle présentée ci-dessus.

Considérons les 2 angles droits suivants :
soit ∠HOZ = ∠POE = 90°

Nous avons :
∠HOZ = ∠HOP + ∠POZ = 90°
et
∠POE = ∠POZ + ∠ZOE = 90°

Si ∠HOZ = ∠POE = 90°
alors
∠HOP + ∠POZ = ∠POZ + ∠ZOE

Retranchons l'angle ∠POZ, terme commun aux deux membres de l'égalité (l'égalité reste vraie)

Nous obtenons : ∠HOP = ∠ZOE

• L'angle ∠HOP correspond à la hauteur du pôle nord céleste sur l'horizon Nord.

• L'angle ∠ZOE correspond à la latitude φ d'un lieu.
Dans l'hémisphère Nord, la latitude d'un lieu est donc bien égale à la hauteur du pôle Nord céleste sur l'horizon.

• L'angle complémentaire de la latitude s'appelle la co-latitude notée θ et vaut 90 °- φ

• Sur la figure ci-dessus, la co-latitude θ correspond aux arcs de cercle PZ et EH'.